Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?）（|φ|＜

π

2

）的图象如图所示，
（1）求f（x）；
（2）求使f（x）取最小值的x的集合；
（3）f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象，得到A=1且函数周期T=3π，利用三角函数周期公式算出ω=

2

3

，再根据x=

π

4

时函数有最大值建立关于φ的等式，解之即可得到函数f（x）的表达式；
（2）根据三角函数最值的公式，解关于x的方程

2

3

x+

π

3

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），即得使f（x）取最小值的x的集合；
（3）利用正弦函数的单调区间公式，建立关于x的不等式：-

π

2

+2kπ≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之即可得到f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由图象，可得A=1
函数的周期T=2（

7π

4

-

π

4

）=3π，可得

2π

ω

=3π，ω=

2

3

又∵当x=

π

4

时函数有最大值
∴

2

3

•

π

4

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），结合|φ|＜

π

2

取k=0，得φ=

π

3

因此，函数的表达式为f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）；
（2）令

2

3

x+

π

3

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），可得x=-

5π

4

+3kπ（k∈Z），
∴使f（x）取最小值的x的集合为{x|x=-

5π

4

+3kπ，k∈Z}；
（3）令-

π

2

+2kπ≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

5π

4

+3kπ≤x≤

π

4

+3kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[-

5π

4

+3kπ，

π

4

+3kπ]（k∈Z）．

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求确定其解析式并讨论函数的单调区间与最值．着重考查了三角函数的图象与性质和确定三角函数解析式等知识，属于中档题．