Question

已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

1

2

，且椭圆经过点P(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）线段PQ是椭圆过点F₂的弦，且

PF2

=λ

F2Q

，求△PF₁Q内切圆面积最大时实数λ的值．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率为

1

2

，且椭圆经过点P(1，

3

2

)，结合a²=b²+c²，求出a²=4，b²=3，从而可求椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，确定当直线PQ与x轴垂直时S△PF1Q最大，进而可求△PF₁Q内切圆面积最大时实数λ的值．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆的离心率为

1

2

，且椭圆经过点P(1，

3

2

)，
∴

c

a

=

1

2

，

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，
又a²=b²+c²，
∴a²=4，b²=3，
∴

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）显然直线PQ不与x轴重合
当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|=3，|F₁F₂|=2，S△PF1Q=3；…（5分）
当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y=k（x-1），k≠0代入椭圆C的标准方程，
整理，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，△＞0．y1+y2=

-6k

3+4k2

，y1•y2=

-9k2

3+4k2

…（7分）
S△PF1Q=

1

2

×|F1F2|×|y1-y2|=…=12

k2+k (3+4k2)2

令t=3+4k²，∴t＞3，k2=

t-3

4

S△PF1Q=3

-3( 1 t + 1 3 )2+ 4 3

，
∵0＜

1

t

＜

1

3

∴S△PF1Q∈(0，3)
由上，得S△PF1Q∈(0，3]
∴当直线PQ与x轴垂直时S△PF1Q最大，且最大面积为3    …（10分）
设△PF₁Q内切圆半径r，则S=4r≤3，
即rmax=

3

4

，此时直线PQ与x轴垂直，△PF₁Q内切圆面积最大
∴

PF2

=

F2Q

，λ=1…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属于中档题．