Question

已知{a_n}是等差数列，a₁=3，S_n是其前n项和，在各项均为正数的等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂+S₂=10，S₅=5b₃+3a₂．
（I ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

2

Sn

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证Tn＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意，列方程组

b1q+2a1+d=10 5a1+ 5×4 2 ×d=5b1q2+3(a1+d)

，可求得q及d，从而可得数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

，于是可求得T_n=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，从而可证得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，S₅=5b₃+3a₂，
∴

b1q+2a1+d=10 5a1+ 5×4 2 ×d=5b1q2+3(a1+d)

，
解得q=2或q=-

17

5

（舍），d=2．
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1，数列{b_n}的通项公式是b_n=2^n-1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，
于是c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

，
∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）
=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式，考查裂项法求和，考查运算与求解能力，属于难题．