Question

已知函数f（x）=a^x（x∈R），a＞0，a≠1，g（x）=f^-1（x），若f（x）与g（x）的交点的个数的最大值为M，最小值为N，则M+N=（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：通过分类讨论，得到在a的不同取值范围内指数函数与其反函数图象交点的个数，得到M和N的值，从而得到答案，该题可作为结论性的知识熟记．

解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x的图象与其反函数的图象显然有1个交点，且该交点在直线y=x上，
除该交点外，可以证明当0＜a＜e^-e时，函数f（x）=a^x的图象与其反函数的图象还有另外2个交点．
事实上：令g（x）=a^x-log_ax（x＞0）．
则g′(x)=axlna-

1

xlna

=

xaxln2a-1

xlna

．
记h(x)=

xaxln2a-1

lna

，则h（x）与g′（x）同号．
令h（x）=0，得x=-

1

lna

．
当x∈(0，-

1

lna

)时，h′（x）＜0
当x∈（-lna，+∞）时，h′（x）＞0．
∴当x=-

1

lna

时函数h（x）有极小值-

1

e

-

1

lna

．
①令-

1

e

-

1

lna

＞0，即e^-e＜a0，
g（x）在（0，+∞）上为增函数，∴e^-e＜a＜1时，
y=a^x与y=x的图象有1个交点；
令-

1

e

-

1

lna

＜0，又

lim

x→0

h(x)=-

1

lna

＞0，

lim

x→∞

h(x)＞0．
∴方程h（x）=0，也就是g′（x）=0在区间(0，-

1

lna

)，(-

1

lna

，+∞)上各有一个根．
利用导数进一步证明0＜a＜e^-e时函数g（x）=0有另外两根．
借助于几何画板可知：
当1＜a＜e

1

e

时，函数f（x）=a^x的图象与其反函数的图象有2个交点；
当a=e

1

e

时，函数f（x）=a^x的图象与其反函数的图象有1个交点；
当a＞e

1

e

时，函数f（x）=a^x的图象与其反函数的图象无交点．
∴M=3，N=0．
∴M+N=3．
故选B．

点评：本题考查了反函数，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了函数与其反函数图象间的关系，是中档题．