Question

4．已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N*）的展开式中含x项的系数为20，求展开式中含x²项的系数的最小值．

Answer 1

分析 展开式中含x²项的系数是关于m，n的关系式，由展开式中含x项的系数为20，可得m+2n=20，从而转化为关于m或n的二次函数求解．

解答 解：∵f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ展开式中含x的项为${C}_{m}^{1}$•x+${C}_{n}^{1}$•2x=（m+2n）x，
∵f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中含x项的系数为20，
∴m+2n=20，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ展开式中含x²的项的系数为t=${C}_{m}^{2}$+${C}_{n}^{2}$•2²=$\frac{1}{2}$（m²-m+4n²-4n），
∵m+2n=20，
∴m=20-2n，
∴t=$\frac{1}{2}$（（20-2n）²-20+2n+4n²-4n）=4n²-42n+190=4（n²-$\frac{21}{2}$n+$\frac{95}{2}$），
∴当n=$\frac{21}{4}$时，t取最小值，但n∈N^*，
∴n=5时t最小，即x²项的系数最小，最小值为80，此时n=5，m=10．

点评 本题考查二项式系数的性质，求得m+2n=20是解决问题的关键，考查二次函数的性质，考查配方法与分析、转化与运算能力，属于中档题．