Question

13．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求证：平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁
（Ⅲ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用空间向量的知识来证明．

解答 解：（I）以D为原点，以DA，DC，DD₁为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
设正方体棱长为1，AD₁的中点为M，则C（0，1，0），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），E（$\frac{1}{2}$，0，1），F（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FE}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{FE}$，∴CM∥FE，
又CM?平面ACD₁，FE?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．
（II）$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=-1+1+0=0，$\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{A{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
∴DB₁⊥平面ACD₁，又DB₁?平面BDD₁B₁，
∴平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．
（III）$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{FE}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{1}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{-1}{1•\frac{\sqrt{6}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，异面直线所成角的计算，属于中档题，通常用空间向量来进行简化证明．