Question

4．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（a-1）x+1在区间（2，3）内为减函数，在区间（5，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [3，4]
• B． [5，7]
• C． [4，6]
• D． [7，8]

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，求得导函数的零点1，a-1，然后分1与a-1的大小分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助于已知条件得到a-1与3和5的关系，则答案可求．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（a-1）x+1得f′（x）=x²-ax+a-1，
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；
当a-1＞1，即a＞2时，f′（x）在（-∞，1）上大于0，函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，
f′（x）在（1，a-1）内小于0，函数f（x）在（1，a-1）内为减函数，f′（x）在（a-1，+∞）内大于0，
函数f（x）在（a-1，+∞）上为增函数．
依题意应有：
当x∈（2，3）时，f′（x）＜0，
当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0．
∴3≤a-1≤5，解得4≤a≤6．
∴a的取值范围是[4，6]．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，采用了逆向思维方法，解答的关键是对端点值的取舍，是中档题．