Question

定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=

a，a≥b b2，a＜b

．
（1）计算2△（3△1）；
（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；
（3）写出函数y=（1△x）△x-（2△x）的解析式，其中-2≤x≤2，并求函数的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：计算题

分析：（1）先求出（3△1），再求出2△（3△1）的值即可；
（2）分别求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，判断即可；
（3）分别求出（1△x）△x和（2△x）代入求出即可．

解答： 解：（1）∵（3△1）=3，
∴2△（3△1）=2△3=9；
（2）由于y＞z，
∴（y△z）=y，
x△（y△z）=x△y=y²；
由于x＜y，
∴（x△y）=y²，即有（x△y）△z=y²△z，
此时若y²≥z，则（x△y）△z=y²；
若y²＜z，则（x△y）△z=z²．
∴等式x△（y△z）=（x△y）△z并不能保证对任意实数x，y，z都成立．
（3）由于1△x=

1，-2≤x≤1 x2，1＜x≤2

，2△x=2，
所以y=(1△x)-(2△x)=

-1，-2≤x≤1 x2-2，1＜x≤2

，
函数的值域为[-1，2]．

点评：本题考查了新定义问题，考查了函数解析式的求法，是一道中档题．