Question

已知函数f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函数，且f（2）=5，
（1）求实数a、b的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）对任意的x∈（0，+∞），试求出使不等式f（x）≥t成立的实数t的最大值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），即可得到b，再由f（2）=5，即可得到a；
（2）求出f（x），可运用导数判断，即可得到f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）任意的x∈（0，+∞），使不等式f（x）≥t成立，即为f（x）_min≥t在（0，+∞）成立，由（2）通过单调性即可得到f（x）的最小值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函数，
则f（-x）=-f（x），即有

ax2+2

b-x

=

ax2+2

-b-x

，
即有b-x=-b-x，即b=0，
又f（2）=5，则

4a+2

2

=5，解得a=2，
即a=2，b=0；
（2）f（x）=

2x2+2

x

=2（x+

1

x

），
由于f′（x）=2（1-

1

x2

），又0＜x＜1，则

1

x2

＞1，
2（1-

1

x2

）＜0，即f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）由f′（x）=2（1-

1

x2

），可得，f（x）在（0，1）上递减，
在（1，+∞）上递增，
则当x＞0时，f（x）_min=f（1）=4，
任意的x∈（0，+∞），使不等式f（x）≥t成立，
即为f（x）_min≥t在（0，+∞）成立，
则有t≤4，
即有t的最大值为4．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用，以及单调性的判断，考查单调性的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．