Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与次抛物线交于A，B两点，则

QB

•

AB

=0，则|AF|-|BF|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设直线方程与抛物线方程联立，借助于求出点A，B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AF|-|BF|．

解答： 解：假设k存在，设AB方程为：y=k（x-1），
与抛物线y²=4x联立得k²（x²-2x+1）=4x，
即k²x²-（2k²+4）x+k²=0 
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵

QB

•

AB

=0，
∴∠QBA=90°，
∴（x₁-2）（x₁+2）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=4，
∴x₁²+4x₁-1=0（x₁＞0），
∴x₁=

5

-2，
∵x₁x₂=1，
∴x₂=

5

+2，
∴|AF|-|BF|=（x₂+1）-（x₁+1）=4，
故答案为：4

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．