Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a（a∈R），
（1）当a=

1

3

时，求不等式f（x）＜

5

3

x²-

11

3

的解集；
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）内仅有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）将a=

1

3

代入化简可得x²+x-6＞0，从而求解集；
（2）分△=4a²-4a=0与△=4a²-4a＞0讨论，从而确定当函数f（x）在区间（-1，1）内仅有一个零点时a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=

1

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时，f（x）＜

5

3

x²-

11

3

可化为
x²+x-6＞0，
解得，x＜-3或x＞2；
故不等式f（x）＜

5

3

x²-

11

3

的解集为{x|x＜-3或x＞2}；
（2）若△=4a²-4a=0，即a=0或a=1时，
经验证，a=0时，函数f（x）在区间（-1，1）内仅有一个零点0；
若△=4a²-4a＞0，即a＞1或a＜0时，

a＞1 f(-1)•f(1)＜0

或

a＜0 f(-1)≤0 f(1)＞0

；
解得，a＞1或a≤-

1

3

；
综上所述，
a的取值范围为{a|a=0或a＞1或a≤-

1

3

}．

点评：本题考查了二次不等式的化简与解法，同时考查了函数的零点的个数的判断，属于基础题．