Question

已知一次函数y=x+k（k∈Z）的图象与二次函数y=x²的图象交于A，B两点，O为坐标原点，求：
（1）

OA

，

OB

的数量积；
（2）当k为何值时

OA

⊥

OB

．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线与圆锥曲线的位置关系易得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-k+k²；
（2）当

OA

•

OB

=-k+k²=0时

OA

⊥

OB

．解方程可得k值．

解答： 解：（1）由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=x+k y=x2

消y并整理得x²-x-k=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=1，x₁x₂=-k，
∴y₁y₂=（x₁+k）（x₂+k）=x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=k²，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-k+k²；
（2）当

OA

•

OB

=-k+k²=0，即k=0或1时，

OA

⊥

OB

．

点评：本题考查平面向量的数量积和垂直关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题．