Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，记数列{b_n}前n项的和为T_n，当T_n≤λ恒成立时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项，由题意列式求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把等差数列的通项代入b_n=

1

anan+1

，整理后利用列项相消法求出数列{b_n}前n项的和为T_n，放缩后可得满足T_n≤λ恒成立的实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意有a1+2d=5，  (a1+d)2=a1(a1+3d)，
又a₁≠0，
解得：a1=

5

3

，d=

5

3

，
∴an=

5

3

n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由题意an=

5

3

n，
∴bn=

1

5 3 n• 5 3 (n+1)

=

9

25

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

9

25

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

9

25

(1-

1

n+1

)＜

9

25

．
∵T_n≤λ恒成立，
∴λ的取值范围是：λ≥

9

25

．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，训练了裂项相消法求数列的和，考查了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．