Question

已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间向量及应用

分析：先画出图形，连接ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，则|

a

|=|

b

|=|

c

|，分别表示出

OG

和

BC

，通过计算

OG

•

BC

=0，从而证明OG⊥BC．

解答： 证明：如图示：
连接ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，
则|

a

|=|

b

|=|

c

|，
又

OG

=

1

2

（

OM

+

ON

）
=

1

2

[

1

2

OA

+

1

2

（

OB

+

OC

）]
=

1

4

（

a

+

b

+

c

），

BC

=

c

-

b

，
∴

OG

•

BC

=

1

4

（（

a

+

b

+

c

）•（

c

-

b

）
=

1

4

（|

a

|2cosθ-|

a

|2cosθ+|

a

|2-|

a

|2）
=0，
∴OG⊥BC．

点评：本题考查了空间中直线和直线的位置关系，考查了向量的应用，是一道中档题．