Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）若三棱锥B₁-ABC的体积为1，写出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；（不要求过程）
（Ⅱ）若E，F分别是线段B₁C，A₁C₁的中点，求证：EF∥平面 ABB₁A₁；
（Ⅲ）若AB⊥BC，且B₁A=B₁C=B₁B=AC，求证：平面B₁AC⊥底面ABC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用三棱锥B₁-ABC的体积和三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积公式能直接写出结果．
（Ⅱ）连结C₁B，A₁B，得到EF∥A₁B，由此能证明EF∥平面ABB₁A₁．
（Ⅲ）取AC中点O，连结B₁O，BO，得到OB=OA=OC，B₁O⊥AC，从而△B₁OA≌△B₁OB，由此能证明平面B₁AC⊥底面ABC．

解答： （Ⅰ）解：∵三棱锥B₁-ABC的体积为1，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3．
（Ⅱ）证明：连结C₁B，A₁B，
∵棱柱侧面是平行四边形，
∴线段B₁C的中点E是线段C₁B的中点，
又F是线段A₁C₁的中点，
∴在△C₁A₁B中，EF∥A₁B，又EF?平面ABB₁A₁，
∴EF∥平面ABB₁A₁．
（Ⅲ）证明：取AC中点O，连结B₁O，BO，
∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，
∵AB₁=B₁B₁，∴B₁O⊥AC，
又∵B₁B=AB₁，
∴△B₁OA≌△B₁OB，∴B₁O⊥OB，
∵AC∩OB=O，∴B₁O⊥平面ABC，
∵B₁O?B₁AC，
∴平面B₁AC⊥底面ABC．

点评：本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．