Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A₁A=AD=1，E为AD₁与A₁D的交点．
（1）求二面角C-AD₁-D 的平面角正切值．
（2）求D点到平面ACD₁的距离．

Answer 1

分析：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D为坐标原点，以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面AD₁D与AD₁C的一个法向量，由两个法向量所成的角的余弦值求二面角的余弦值，从而求出正切值；
（2）在（1）中求出了AD₁C的一个法向量，E点是平面AD₁C上的一个点，求出向量

ED

，则向量

ED

在平面AD₁C的一个法向量上的投影的绝对值即为点D到平面ACD₁的距离．

解答：解：（1）如图，

以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为AB=2，A₁A=AD=1，E为AD₁与A₁D的交点，
所以，A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
E（

1

2

，0，

1

2

），D（0，0，0）．

AC

=(-1，2，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

ED

=(-

1

2

，0，-

1

2

)．
则平面AD₁D的一个法向量为

DC

=(2，0，0)，
设平面AD₁C的一个法向量

n

=(x，y，z)，
由

n • D1C =0 n • AC =0

，得

2y-z=0 -x+2y=0

，取y=1，则x=z=2，
所以

n

=(2，1，2)．
再设二面角C-AD₁-D 的平面角为θ，
则cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

4+1×0+2×0

22+02+02 • 22+12+22

=

2

3

．
所以sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
则二面角C-AD₁-D 的平面角正切值为tanθ=

sinθ

cosθ

=

5 3

2 3

=

5

2

．
（2）D点到平面AD₁C的距离为d=

| ED • n |

| n |

=

|(- 1 2 )×2+0×1+(- 1 2 )×2|

22+12+22

=

2

3

．
所以D点到平面ACD₁的距离为

2

3

．

点评：本题考查了空间中的点线面的角及距离的计算，考查了向量法，利用向量法求解空间角和距离的关键是在理解的基础上熟记有关公式，该题是中档题．