Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S_n＝a_m，则称{a_n}是“H数列”．

(1)若数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ(n∈N^*)，证明：{a_n}是“H数列”；

(2)设{a_n}是等差数列，其首项a₁＝1，公差d<0.若{a_n}是“H数列”，求d的值；

(3)证明：对任意的等差数列{a_n}，总存在两个“H数列”{b_n}和{c_n}，使得a_n＝b_n＋c_n(n∈N^*)成立．

Answer 1

解　(1)首先a₁＝S₁＝2，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1，∴

∴对于任意的n∈N^*，S_n＝2ⁿ是数列{a_n}中的n＋1项，因此数列{a_n}是“H数列”．

(2)由题意a_n＝1＋(n－1)d，S_n＝n＋d，数列{a_n}是“H数列”，则存在k∈N^*，使n＋d＝1＋(k－1)d，k＝＋＋1，由于∈N^*，又k∈N^*，则∈Z对一切正整数n都成立，∴d＝－1.

(3)若d_n＝bn(b是常数)，则数列{d_n}前n项和为S_n＝b是数列{d_n}中的第项，因此{d_n}是“H数列”，对任意的等差数列{a_n}，a_n＝a₁＋(n－1)d(d是公差)，设b_n＝na₁，c_n＝(d－a₁)(n－1)，则a_n＝b_n＋c_n，而数列{b_n}，{c_n}都是“H数列”．