Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OAC；
（2）求点A到平面OBD的距离．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵OA⊥底面ABCD，
BD?平面ABCD，∴OA⊥BD，AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC．…（5分）
（2）设点A到平面OBD的距离为h
S_△ABD=

1

2

×AB×AD=

1

2

，S_△OBD=

1

2

×

2

×

3

2

=

3

2

．
由V_A-OBD=V_O-ABD得

1

3

S_△OBD×h=

1

3

S_△ABD×OA⇒h=

2

3

所以点A到平面OBD的距离为

2

3

…（12分）