Question

【题目】如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧．

（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；

（2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点E，F分别是△PQB和△POA的重心，当三棱锥P﹣ABC体积最大时，回答下列问题．

（i）证明：EF∥平面PAQ；

（ii）求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（i）见解析（ii）．

【解析】

（1）证明AD⊥PC， PC⊥PD，得到PC⊥平面PAD，得到证明.

（2）连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，证明EF∥AQ得到答案；以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，计算夹角得到答案.

（1）证明：因为ABCD是轴截面，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PC，

又点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），且CD为直径，所以PC⊥PD，

又AD∩PD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD，所以PC⊥平面PAD，

PC平面PBC，故平面PAD⊥平面PBC；

（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，点P为圆弧CD的中点，

所以点O为圆弧AB的中点，所以四边形AQBO为正方形，且OP⊥AB，

（i）证明：连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，

则MN∥AQ，因为E，F分别为三角形的重心，所以EF∥MN，

所以EF∥AQ，又AQ平面PAQ，EF平面PAQ，所以EF∥平面PAQ；

（ii）以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P（0，0，2），A（，0，0），B（0，，0），

，，

设平面PAB的法向量\，则，

可取，又平面PCD的法向量，

所以cos，

所以平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为．