Question

已知圆M：x²+（y-1）²=1，过圆心M的直线与抛物线x²=4y及圆M的交点依次为A，B，C，D，则|AC|•|BD|的取值范围为（　　）

• A、（9，+∞）
• B、[9，+∞）
• C、（4，+∞）
• D、[4，+∞）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用抛物线的定义，结合圆的定义，可得|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2），设直线AD：x=m（y-1），代入抛物线方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到m的关系式，即可得到范围．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
抛物线x²=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1．
|AM|=y₁+1，|DM|=y₂+1，
则|AB|=|AM|-1=y₁，|CD|=|DM|-1=y₂，
则有|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2）
=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
设直线AD：x=m（y-1），代入抛物线方程，
得，m²y²-（2m²+4）y+m²=0，
即有y₁+y₂=2+

4

m2

，y₁y₂=1，
则|AC|•|BD|=1+4+

8

m2

+4=9+

8

m2

＞9．
故选A．

点评：本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查直线和抛物线方程联立消去未知数，运用韦达定理解题，考查运算能力，属于中档题．