Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=0，a₃-2a₂=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n-15n+50的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质求出数列的第4项，然后求解数列的首项与公差，即可求解通项公式．
（2）求出等差数列的前n项和，利用二次函数的性质，求解和的最小值．

解答 解：（1）由S₇=0得7a₄=0…2
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+3d=0}\\{{a_1}+2d-2（{{a_1}+d}）12}\end{array}}\right.$
解得a₁=-12，d=4…4
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-16…5
（2）${S_n}=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}=\frac{{n（{-12+4n-16}）}}{2}=2{n^2}-14n$…7
所以${S_n}-15n+50=2{n^2}-29n+50$=$2{（{n-\frac{29}{4}}）^2}-\frac{441}{8}$…9
因为$n∈{N^*}，且|{7-\frac{29}{4}}|＜|{8-\frac{29}{4}}|$
所以当n=7时，S_n-15n+50的最小值为2×7²-29×7+50=-55…10

点评 本题考查等差数列和的求法，通项公式的应用，考查计算能力．