Question

已知a＞0，设命题p：函数f（x）=sin2x-2

3

cos²x+

3

+2-a＞0在x∈[

π

4

，

π

2

]时恒成立；命题q：方程4^x-a•2^x+1+1=0有解，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题

分析：分别求得命题p、q为真时a的取值范围，再根据复合命题真值表得：若“p或q”为真命题，“p且q”是假命题，则命题p、q一真一假，分p真q假，q真p假，求出a的范围，再综合．

解答： 解：∵x∈[

π

4

，

π

2

]，2x∈[

π

2

，π]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）≥

1

2

∴sin2x-

3

cos2x+2=2sin(2x-

π

3

)+2≥3，
a＜sin2x-

3

cos2x+2在x∈[

π

4

，

π

2

]时恒成立
∴命题p为真时：p：0＜a＜3                                         
由方程4^x-a•2^x+1+1=0有解得2a=2x+

1

2x

，令t=2^x
得2a=t+

1

t

在t∈（0，+∞）上有解，
∵t∈（0，+∞）时，t+

1

t

≥2，
∴2a≥2，a≥1．
∴命题q为真时：a≥1
（1）若p真q假时，0＜a＜1；
（2）若q真p假时，a≥3；
综上：0＜a＜1或a≥3．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了三角函数的值域及基本不等式的应用，本题的关键是求命题p、q为真时a的范围．