Question

17．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中．则继续投篮，否则由对方投篮，第-次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．
（1）求第三次由乙投篮的概率；
（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ．求ξ的分布列、期望及标准差．

Answer 1

分析 （1）由已知利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出第三次由乙投篮的概率．
（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列、期望及标准差．

解答 解：（1）∵甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中．则继续投篮，否则由对方投篮，
第-次由甲投篮，每次投篮甲、乙命中的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，
∴第三次由乙投篮的概率p=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{18}$．
（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{18}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{2}$

期望E（ξ）=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{1}{2}$=$\frac{25}{18}$．
方差D（ξ）=（0-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{1}{9}$+（1-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{7}{18}$+（2-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{1}{2}$=$\frac{149}{324}$，
标准差$\sqrt{D（ξ）}$=$\sqrt{\frac{149}{324}}$=$\frac{\sqrt{149}}{18}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、标准差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．