Question

10．根据下列图案中的圆圈排列规则，猜想第5个图形中的圆圈个数为21．

Answer 1

分析 设第n个图案的点的个数为f（n），可得f（n）-f（n-1）=2（n-1），n-1个式子相加，由等差数列的求和公式可得结果．

解答 解：设第n个图案的点的个数为a_n，由题意可得f（1）=1，f（2）=3，f（3）=7，f（4）=13，
故f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=4，f（4）-f（3）=6，…，
由此可推得f（n）-f（n-1）=2（n-1），以上n-1个式子相加可得：
f（2）-f（1）+f（3）-f（2）+f（4）-f（3）+…+f（n）-f（n-1）=2+4+6+…+2（n-1），
化简可得f（n）-1=$\frac{1}{2}$（n-1）（2+2n-2）=n（n-1），故f（n）=n（n-1）+1，
∴f（5）=5×4+1=21，
故答案为：21

点评 本题考查归纳推理，构造数列并得出数列的特点是解决问题的关键，属基础题．