Question

已知向量

m

=（cosα-

2

3

，-1），

n

=（sinα，1），

m

与

n

为共线向量，且α∈[-

π

2

，0]
（Ⅰ）求sinα+cosα；
（Ⅱ）求

cos(- π 2 -α)cos(4π-α)sin(α-3π)

sin(α+ 1 2 π)sin(-4π-α)

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）直接由向量共线的坐标运算列式求得sinα+cosα的值；
（Ⅱ）先由三角函数的诱导公式化简，然后利用配角的方法求出sinα，则答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（cosα-

2

3

，-1），

n

=（sinα，1），且

m

与

n

为共线，
则cosα-

2

3

+sinα=0，即sinα+cosα=

2

3

；
（Ⅱ）

cos(- π 2 -α)cos(4π-α)sin(α-3π)

sin(α+ 1 2 π)sin(-4π-α)

=

-sinαcosα•(-sinα)

cosα•(-sinα)

=-sinα．
由（Ⅰ）知sinα+cosα=

2

3

，
∴sin(α+

π

4

)=

1

3

，
又α∈[-

π

2

，0]，
∴α+

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，cos（α+

π

4

）=

2 2

3

．
∴sinα=sin[（α+

π

4

）-

π

4

]=sin(α+

π

4

)cos

π

4

-cos(α+

π

4

)sin

π

4

=

1

3

×

2

2

-

2 2

3

×

2

2

=

2 -4

6

．
∴

cos(- π 2 -α)cos(4π-α)sin(α-3π)

sin(α+ 1 2 π)sin(-4π-α)

=-sinα=

4- 2

6

．

点评：本题考查了向量共线的坐标运算，考查了三角函数的诱导公式，是中档题．