Question

2．已知函数$f（x）=（{ax+a+2}）ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-（{2+a}）x+1$．
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，f'（x）=$\frac{x（x+3）}{（x+1）^{2}}$，f（x）在定义域 （-1，+∞）
∴f'（x）在（-1，0）上为减函数，在 （0，+∞）上为增函数，
∴函数的减区间为（-1，0），增区间为（0，+∞）；
（2）①当a≥1时，由于x∈[0，+∞），
∴$f'（x）=aln（{x+1}）+\frac{2}{x+1}+ax-2≥ln（{x+1}）+\frac{2}{x+1}+x-2≥0$，
所以满足f（x）在[0，+∞）上为单调增函数，即a≥1；
②当0＜a＜1时，f'（x）=aln（x+1）+$\frac{2}{x+1}$+ax-2，
f''（x）=$\frac{a{x}^{2}+3ax+2a-2}{（s+1）^{2}}$，由方程ax²+3ax+2a-2=0的判别式：
△=a²+8a＞0，所以方程有两根x₁，x₂，且由${x_1}{x_2}=\frac{{2（{a-1}）}}{a}＜0$，
∴x₁＜0＜x₂，
∴f'（x）在[0，x₂]上为减函数，由f'（0）=0可知，在x∈[0，x₂]时，f'（x）＜0，
这与 f（x）在[0，+∞）上为单调增函数相矛盾．
③当a≤0时，∵$f'（x）=aln（{x+1}）+\frac{2}{x+1}+ax-2$，
∴f″（x）=$\frac{{ax}^{2}+3ax+2a-2}{{（x+1）}^{2}}$＜0，
∴f'（x）在[0，+∞）上为减函数，由f'（0）=0可知，
在x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，
这与 f（x）在[0，+∞）上为单调增函数也是相矛盾，
综上所述：实数a的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．