Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列四个结论
①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC
②等式c=acosB+bcosA一定成立
③$\frac{a}{sinA}=\frac{b+c}{sinB+sinC}$
④若（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，则△ABC为等边三角形
以上结论正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由正弦定理进行判断，
②由正弦定理，可得，a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，即可证得，
③通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误．
④利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．

解答 解：①A＞B＞C，则a＞b＞c，由正弦定理得则sinA＞sinB＞sinC；故①正确，
②由正弦定理，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2r，（r为△ABC的外接圆的半径），
则a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，
c=2rsinC=2rsin（A+B）=2r（sinAcosB+cosAsinB）
=2rsinAcosB+2rsinBcosA=acosB+bcosA；故②正确，
③由正弦定理以及合分比定理可知$\frac{a}{sinA}=\frac{b+c}{sinB+sinC}$，正确，
④：$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分别是$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方向的单位向量，
向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$在∠BAC的平分线上，
由（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0知，AB=AC，
由且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，可得∠CAB=120°，
∴△ABC为等腰非等边三角形，故④不正确，
故选：C

点评 本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．单位向量的定义；向量垂直的充要条件；向量数量积的应用，考查了推理和归纳的能力．