已知数列{an}.{bn}都是单调递增数列.若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列.则得到一个新数列{cn}．(1)设数列{an}.{bn}分别为等差.等比数列.若a1=b1=1.a2=b3.a6=b5.求c20,(2)设{an}的首项为1.各项为正整数.bn=3n.若新数列{cn}是等差数列.求数列{cn} 的前n项和Sn,(3)设bn=qn-1.c1=b1.是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．已知数列{a_n}，{b_n}都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{c_n}．
（1）设数列{a_n}，{b_n}分别为等差、等比数列，若a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₆=b₅，求c₂₀；
（2）设{a_n}的首项为1，各项为正整数，b_n=3ⁿ，若新数列{c_n}是等差数列，求数列{c_n} 的前n项和S_n；
（3）设b_n=q^n-1（q是不小于2的正整数），c₁=b₁，是否存在等差数列{a_n}，使得对任意的n∈N^*，在b_n与b_n+1之间数列{a_n}的项数总是b_n？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{a_n}；若不存在，请说明理由．

分析（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得d=0或3，因数列{a_n}，{b_n}单调递增，d＞0，q＞1，可得a_n=3n-2，b_n=2^n-1，利用通项公式即可得出．
（2）设等差数列{c_n}的公差为d，又a₁，且b_n=3ⁿ，所以c₁=1，所以c_n=dn+1-d．因为b₁=3是{c_n}中的项，所以设b₁=c_n，即d（n-1）=2．当n≥4时，解得d=$\frac{2}{n-1}$＜1，不满足各项为正整数当b₁=c₃=3时，当b₁=c₂=3时，即可得出．
（3）存在等差数列{a_n}，只需首项a₁∈（1，q），公差d=q-1．下证b_n与b_n+1之间数列{a_n}的项数为b_n．即证对任意正整数n，都有$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}＜{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n-1}+1}}\\{{b}_{n+1}＞{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}}\end{array}\right.$，作差利用通项公式即可得出．

解答解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得d=0或3，因数列{a_n}，{b_n}单调递增，
所以d＞0，q＞1，
所以d=3，q=2，
所以a_n=3n-2，b_n=2^n-1．…（2分）
因为a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₆=b₅，b₇＞a₂₀．
∴c₂₀=a₁₇=49．…（4分）
（2）设等差数列{c_n}的公差为d，又a₁，且b_n=3ⁿ，
所以c₁=1，所以c_n=dn+1-d．
因为b₁=3是{c_n}中的项，所以设b₁=c_n，即d（n-1）=2．
当n≥4时，解得d=$\frac{2}{n-1}$＜1，不满足各项为正整数；…（6分）
当b₁=c₃=3时，d=1，此时c_n=n，只需取a_n=n，而等比数列{b_n}的项都是等差数列{a_n}，中的项，所以S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；…（8分）
当b₁=c₂=3时，d=2，此时c_n=2n-1，只需取a_n=2n-1，
由3ⁿ=2m-1，得m=$\frac{{3}^{n}+1}{2}$，3ⁿ是奇数，3ⁿ+1 是正偶数，m有正整数解，
所以等比数列{b_n}的项都是等差数列{a_n}中的项，所以S_n=n²．…（10分）
综上所述，数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，或S_n=n²．…（11分）
（3）存在等差数列{a_n}，只需首项a₁∈（1，q），公差d=q-1…（13分）
下证b_n与b_n+1之间数列{a_n}的项数为b_n．即证对任意正整数n，都有$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}＜{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n-1}+1}}\\{{b}_{n+1}＞{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}＜{a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}}\\{{b}_{n+1}＞{a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}}\end{array}\right.$成立．
由b_n-${a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}$=q^n-1-a₁-（1+q+…+q^n-2）（q-1）=1-a₁＜0，
b_n+1-${a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}$=qⁿ-a₁-（1+q+…+q^n-1-1）（q-1）=q-a₁＞0．．
所以首项a₁∈（1，q），公差d=q-1的等差数列{a_n}符合题意…（16分）

点评本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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3．某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表．

印刷册数x（千册）	2	3	4	5	8
单册成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲：$\widehat{y}$^（1）=$\frac{4}{x}$+1.1，方程乙：$\widehat{y}$^（2）=$\frac{6.4}{{x}^{2}}$+1.6．
（Ⅰ）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
（i）完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值$\widehat{{y}_{i}}$^（1）		2.4	2.1		1.6
模型甲	残值$\widehat{{e}_{i}}$^（1）		0	-0.1		0.1
模型乙	估计值$\widehat{{y}_{i}}$^（2）		2.3	2	1.9
模型乙	残值$\widehat{{e}_{i}}$^（2）		0.1	0	0

（ii）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁和Q₂，并通过比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（Ⅱ）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润．（按（Ⅰ）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

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20．设z是复数，|z-i|≤2（i是虚数单位），则|z|的最大值是（　　）

A．

B．

C．

D．

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