Question

已知函数和

（1）若函数在区间不单调，求的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）求出的导数，因为 的导函数是二次函数，二次项系数为3k，故需要分类讨论其单调性，求出不同情况下的单调区间，让一个单调区间的分界点落在区间（1,2），列出关于k的不等式组，即可解出k的取值范围；(2)要使当时，不等式，即恒成立，构造函数=，转化为求使≥0对x≥0恒成立问题,利用导数研究函数的图像与性质，即可求出是≥0恒成立在x≥0上恒成立时，k的取值范围.

试题解析：（1） 1分

①当时，，所以在单调递减，不满足题意； 2分

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

因为函数在区间不单调，所以，解得 4分

综上的取值范围是. 5分

（2）令

依题可知在上恒成立 6分

，令=，

有且 7分

①当即时，

因为，所以

所以函数即在上单调递增，又由

故当时，，所以在上单调递增

又因为，所以在上恒成立，满足题意； 10分

②当即时，

当，，函数即单调递减，

又由，所以当，

所以在上单调递减，又因为，所以时，

这与题意在上恒成立相矛盾，故舍. 13分

综上，即的最大值是. 14分

考点: 常见函数的导数；导数的运算法则；函数单调性与导数的关系；不等式恒成立问题；运算求解能力；转化思想