精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
ax2+bx+c
x+d
(其中a,b,c,d是实数常数,x≠-d)
(1)若a=0,函数f(x)的图象关于点(-1,3)成中心对称,求b,d的值;
(2)若函数f(x)满足条件(1),且对任意x0∈[3,10],总有f(x0)∈[3,10],求c的取值范围;
(3)若b=0,函数f(x)是奇函数,f(1)=0,f(-2)=-
3
2
,且对任意x∈[1,+∞)时,不等式f(mx)+mf(x)恒成立,求负实数m的取值范围.
分析:(1)利用反比例函数的对称性类比即可;
(2)分情况讨论f(x)的范围;
(3)先根据条件确定f(x)的解析式,再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围.
解答:解(1)∵a=0,
f(x)=
bx+c
x+d
=b+
c-bd
x+d

类比函数y=
k
x
(x≠0)
的图象,可知函f(x)的图象的对称中心是(-d,b).
又∵函f(x)的图象的对称中心(-1,3),∴
b=3
d=1

(2)由(1)知,f(x)=3+
c-3
x+1

依据题意,对任x0∈[3,10],恒f(x0)∈[3,10].
①c=3,f(x)=3,符合题意.
②c≠3,c<3时,对任x∈[3,10],恒f(x)=3+
c-3
x+1
<3
,不符合题意.
所c>3,函f(x)=3+
c-3
x+1
[3,10]上是单调递减函数,且满f(x)>3.
因此,当且仅f(3)≤10,
即3<c≤31时符合题意.                            
综上,所求实c的范围3≤c≤31.
(3)依据题设,
f(x)+f(-x)=0
f(1)=0
f(-2)=-
3
2
a=1
c=-1
d=0

于是f(x)=x-
1
x

f(mx)+mf(x)<0
m<0
x≥1
,得2mx-
1
mx
-
m
x
<0

∴(2x2-1)m2>1
∵m<0
∴m<-
1
2x2-1

因此,m<(-
1
2x2-1
)min

∵函数y=--
1
2x2-1
(x≥1)
在[1,+∞)是增函数,
∴ymin=y(1)=-1.
∴所求负实数m的取值范围m<-1.
故答案为m<-1.
点评:本题主要考察利用函数奇偶性,对称性求解析式,恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•海淀区二模)已知函数f(x)=a-2x的图象过原点,则不等式f(x)>
34
的解集为
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a|x|的图象经过点(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a•2x+b•3x,其中常数a,b满足a•b≠0
(1)若a•b>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定义函数F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 给出下列命题:①F(x)=|f(x)|; ②函数F(x)是奇函数;③当a<0时,若mn<0,m+n>0,总有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正确命题的序号是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案