Question

15．如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点．
（1）求证：直线DF∥平面PAC；
（2）求证：PF⊥AD．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得DF∥AC，由此能证明直线DF∥平面PAC．
（2）由AC⊥AB，AC⊥AP，得AC⊥平面PAB，从而AC⊥PF，再推导出PF⊥AB，从而PF⊥平面ABC，由此能证明AD⊥PF．

解答 证明：（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，
∴DF∥AC，
又∵DF?平面PAC，AC?平面PAC，
∴直线DF∥平面PAC． …（6分）
（2）∵∠PAC=∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，AC⊥AP，
又∵AB∩AP=A，AB，AP在平面PAB内，
∴AC⊥平面PAB，…（8分）
∵PF?平面PAB，∴AC⊥PF，
∵PA=PB，F为AB的中点，∴PF⊥AB，
∵AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB=A，AC，AB在平面ABC内，
∴PF⊥平面ABC，…（12分）
∵AD?平面ABC，∴AD⊥PF． …（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．