Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4-t），则a=1，t的取值范围是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得|2t+3|＜|4-t|，解此绝对值不等式，求得t的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一个奇函数，设x＜0，则-x＞0，
且f（-x）=-f（x），即-a（-x）（-x+2）=-x（x-2），化简可得ax（2-x）=x（2-x），∴a=1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-x（x+2），x＞0}\end{array}\right.$，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．
由f（2t+3）＜f（4-t），可得2t+3＞4-t，求得t＞$\frac{1}{3}$，
求得t∈（-7，$\frac{1}{3}$），
故答案为：1，（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．