Question

6．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，点P（a，b）满足|F₁F₂|=|PF₂|，设直线PF₂与椭圆交于M、N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{108}=1$
• B． $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{75}=1$
• C． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 先确定a=2c，b=$\sqrt{3}$c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线PF₂的方程为y=$\sqrt{3}$（x-c），代入椭圆方程，消去y并整理，求出M，N的坐标，利用|MN|=16，可求椭圆的方程．

解答 解：因为点P（a，b）满足|F₁F₂|=|PF₂|，所以$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2c，
整理得2e²+e-1=0，
所以e=$\frac{1}{2}$．
所以a=2c，b=$\sqrt{3}$c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，
直线PF₂的方程为y=$\sqrt{3}$（x-c），
代入椭圆方程，消去y并整理，得5x²-8cx=0，解得x=0或$\frac{8}{5}$c，
得M（0，-$\sqrt{3}$c），N（$\frac{8}{5}$c，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$c），
所以|MN|=$\frac{16}{5}$c=16，
所以c=5，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．