Question

11．已知等差数列{a_n}的公差d=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$，a₄²-a₂²=56；等比数列{b_n}满足：b₁=1，b₂b₄b₆=512，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，令c_n=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{S_n}，n为奇数}\\{{b_n}，n为偶数}\end{array}}$，求c₁+c₂+c₃+…+c_2n．

Answer 1

分析 （1）通过定积分的计算可得$d=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}=2$，通过$a_4^2-a_2^2=（{a_4}+{a_2}）（{a_4}-{a_2}）=2{a_3}•2d=56$可得a₃=7，进而可得a₁=3，即得a_n=2n+1；设等比数列{b_n}的公比为q，通过等比中项的性质及${b_2}{b_4}{b_6}=b_4^3=512$，可得b₄=8，进而可得q=2，即得${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（2）通过a₁=3、a_n=2n+1得${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}，n为奇数}\\{{2^{n-1}}，n为偶数}\end{array}}\right.$，利用并项相加法计算即可．

解答 解：（1）公差$d=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}=2$，
∵$a_4^2-a_2^2=（{a_4}+{a_2}）（{a_4}-{a_2}）=2{a_3}•2d=56$，
∴a₃=7，
∴a₁+2d=7，∴a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
设等比数列{b_n}的公比为q，
∵${b_2}{b_4}{b_6}=b_4^3=512$，
∴b₄=8，即b₁q³=8，∴q=2，
即${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（2）由a₁=3，a_n=2n+1得：S_n=n（n+2），
∴${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{n（n+2）}，n为奇数}\\{{2^{n-1}}，n为偶数}\end{array}}\right.$，
即${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}，n为奇数}\\{{2^{n-1}}，n为偶数}\end{array}}\right.$，
∴c₁+c₂+c₃+…c_2n=（c₁+c₃+…c_2n-1）+（c₂+c₄+…c_2n）
=$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]+（2+{2^3}+…{2^{2n-1}}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}+\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{2n}{2n+1}+\frac{2}{3}（{4^n}-1）$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，涉及到定积分的计算等知识，考查分类讨论的思想，利用并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．