Question

3．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}$．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+h（A＞0）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）若函数f（x）的定义域为$D=（0，\frac{π}{3}）$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式对解析式化简；
（2）由自变量的范围确定（$\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}$）的范围，结合正弦函数的单调性求值域．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1+cos\frac{2x}{3}）=sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（3分）
由$sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）$=0即$\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}=kπ（k∈z）得x=\frac{3k-1}{2}π\begin{array}{l}，&{k∈z}\end{array}$
即对称中心的横坐标为$\frac{3k-1}{2}π\begin{array}{l}，&{k∈z}\end{array}$…（6分）
（2）∴$\frac{1}{2}≤cosx＜1，0＜x≤\frac{π}{3}，\frac{π}{3}＜\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{9}$，…（9分）
∵$|\frac{π}{3}-\frac{π}{2}|＞|\frac{5π}{9}-\frac{π}{2}|$，∴$sin\frac{π}{3}＜sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）≤1$，∴$\sqrt{3}＜sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即f（x）的值域为$（\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$，
综上所述，$x∈（0，\frac{π}{3}]$，f（x）的值域为$（\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$…（14分）

点评 本题考查了三角函数的倍角公式的运用以及Asin（ωx+φ）+h的形式的值域求法，经常考查，注意掌握．