Question

2．已知函数f（x）=cosx•sin（$\frac{π}{6}$-x）
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=-$\frac{1}{4}$，a=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边长C的值．

Answer 1

分析 （1）运用两角和差的正弦和余弦公式，结合二倍角公式化简f（x），由余弦函数的单调减区间，解不等式即可得到所求减区间；
（2）由代入法和特殊角的函数值，可得C，再由三角形的面积公式和余弦定理，计算即可得到c．

解答 解：$f（x）=cosx（sin\frac{π}{6}cosx-sinxcos\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x$=$\frac{1+cos2x}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x
=$\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{3}）+\frac{1}{4}$，
（1）由$2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+π（k∈z）$，解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即有f（x）的单调减区间为$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$，k∈Z；
（2）$f（C）=\frac{1}{2}cos（2C+\frac{π}{3}）+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$，
∴$cos（2C+\frac{π}{3}）=-1$，∴$C=\frac{π}{3}$．
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=2\sqrt{3}$，∴ab=8，
∵a=2，∴b=4，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=12，
∴$c=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的化简，注意运用二倍角公式和两角和差的余弦公式，以及余弦函数的图象和性质，属于中档题．