Question

7．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，BF⊥平面ABCD，DE∥BF．
（Ⅰ）求证：AC⊥EF；
（Ⅱ）若BF=2，DE=1，在EF上取点G，使BG∥平面ACE，求直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，证明AC⊥平面DEFB，即可证明结论；
（Ⅱ）建立坐标系，求出G的坐标，再求出直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，则
∵DE∥BF，
∴D、E、B、F共面
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵BF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BF，
∵BD∩BF=B，
∴AC⊥平面DEFB，
∵EF?平面DEFB，
∴AC⊥EF；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），
设G（2-x，2-x，x），平面ACE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{BG}$=（2-x，2-x，x），
∴2-x+2-x-x=0，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴$\overrightarrow{AG}$=（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为|$\frac{-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．