Question

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B-A）=$\sqrt{2}$sin2A，A≠$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求角A的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，C为钝角，求角A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简已知等式可得：2sinBcosA=2$\sqrt{2}$sinAcosA，由cosA≠0，根据正弦定理，得b=$\sqrt{2}a$，又0＜sinB≤1，可得0＜sinA$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$从而得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b，又S=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，结合C为钝角，可求C，由余弦定理可求得c的值，由正弦定理可求sinA=$\frac{asinC}{c}$，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）由sinC+sin（B-A）=$\sqrt{2}$sin2A，得sin（B+A）+sin（B-A）=2$\sqrt{2}$sinAcosA，
即：2sinBcosA=2$\sqrt{2}$sinAcosA，因为cosA≠0，sinB=$\sqrt{2}$sinA．                         …（3分）
由正弦定理，得b=$\sqrt{2}a$，故A必为锐角．                   …（4分）
又0＜sinB≤1，0＜sinA$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．                            …（6分）
因此角A的取值范围为（0，$\frac{π}{4}$]…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b=$\sqrt{2}$．又因为S=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，所以$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×sinC=\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
从而sinC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．因为C为钝角，故C=$\frac{7π}{12}$．                                   …（11分）
由余弦定理，得c²=1+2-2×$1×\sqrt{2}cos\frac{7π}{12}$=1+2-2×$1×\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}）$=2+$\sqrt{3}$．
故有：c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．                                               …（13分）
由正弦定理，得sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{2}$．
 因此A=$\frac{π}{6}$．   …（15分）

点评 本题主要考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查．