Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosωx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinωx-cosωx，2）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+3$，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{4}$个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数g（x）的图象，当$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由题意根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得 $f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+3=2cosωx（sinωx-cosωx）-2+3$
sin2ωx-2cos²ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$），
由题意知，$T=\frac{2π}{2ω}=π$，∴ω=1，∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
解得：$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈Z$，
∴f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]，k∈Z$．
（Ⅱ）由题意，把f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到$g（x）=\sqrt{2}sin（4x+\frac{π}{4}）$，
∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，∴$4x+\frac{π}{4}∈[\frac{11π}{12}，\frac{9π}{4}]$，∴$-1≤sin（4x+\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
函数g（x）的值域为 $[-\sqrt{2}，1]$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．