Question

12．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c²=（a-b）²+6，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，则C=（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C

解答 解：由题意可得c²=（a-b）²+6=a²+b²-2ab+6，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
两式联立可得ab（1-cosC）=3，
再由面积公式可得S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴ab=$\frac{3\sqrt{3}}{sinC}$，代入ab（1-cosC）=3可得sinC=$\sqrt{3}$（1-cosC），
再由sin²C+cos²C=1可得3（1-cosC）²+cos²C=1，
解得cosC=$\frac{1}{2}$，或cosC=1（舍去），
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．