Question

9．过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点F作斜率k=-1的直线交椭圆于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}与\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上任意一点，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R）证明：m²+n²为定值．

Answer 1

分析 （1）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率
（2）用向量运算将m，n用坐标表示，再用坐标的关系求出m²+n²的值．

解答 解：（1）设直线AB的方程为y=-x+c，代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
化简得（b²+a²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}与\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共线，
∴3（y₁+y₂）-（x₁+x₂）=0，又y₁=-x₁+c，y₂=-x₂+c，
∴3（-x₁-x₂+2c）-（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$c．
∴$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3}{2}$c，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）证明：由（1）知a²=3b²，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$可化为x²+3y²=3b²．
设P（x，y），由已知得（x，y）=m（x₁，y₁）+n（x₂，y₂），
∴x=mx₁+nx₂，y=my₁+ny₂，
∵P（x，y）在椭圆上，
∴（mx₁+nx₂）²+3（my₁+ny₂）²=3b²．
即m²（x₁²+3y₁²）+n²（x₂²+3y₂²）+2mn（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．①
由（1）知x₁+x₂=$\frac{3}{2}$c，x₁x₂=$\frac{3}{8}$c²．
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-c）（x₂-c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²=0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得m²+n²=1．
故m²+n²为定值，定值为1．

点评 考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．是高考常见题型且是解答题．