Question

1．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且总有f（x）＞xf'（x），则不等式f（x）＞xf（1）的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （0，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意：x＞0时，f（x）＞xf'（x），列出不等式$\frac{f'（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，从而知$\frac{f（x）}{x}$ 在x＞0上单调递减；

解答 解：由题意：x＞0时，f（x）＞xf'（x）
∴xf'（x）-f（x）＜0⇒$\frac{f'（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$＜0⇒$（\frac{f（x）}{x}）^{′}＜0$
所以知：$\frac{f（x）}{x}$ 在x＞0上单调递减；
∵f（x）＞xf（1）⇒$\frac{f（x）}{x}$＞$\frac{f（1）}{1}$ 
故x的取值范围为：0＜x＜1
故选：B

点评 本题主要考查了导数运算公式，构造新函数判断函数单调性以及函数图形特征，属中等题．