Question

11．在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=10，d=3．令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式求得首项a₁的值，则易求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用拆项法求得数列{b_n}的通项公式，则易求T_n；
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，结合等比数列的性质得到$\frac{{m}^{2}}{（3m+2）^{2}}$=$\frac{n}{5（3n+2）}$，从而求得符合条件的m、n的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁+a₃=10，d=3，得
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=10}\\{d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1（n∈N⁺）；
（2）由（1）知，a_n=3n-1．
所以b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）[（3n+1）-1]}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{n}{2（3n+2）}$；
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，
由（2）知，T₁=$\frac{1}{10}$，T_m=$\frac{m}{2（3m+2）}$，T_n=$\frac{n}{2（3n+2）}$，
因为T₁，T_m，T_n成等比数列，
所以（$\frac{m}{2（3m+2）}$）²=$\frac{1}{10}$×$\frac{n}{2（3n+2）}$，即$\frac{{m}^{2}}{（3m+2）^{2}}$=$\frac{n}{5（3n+2）}$，
整理，得
n（-3m²+6m+2）=5m²．（*）
①当m=2时，（*）式可化为2n=20，所以n=10．
②当m≥3时，-3m²+6m+2=-3（m-1）²+5≤-7＜0．
又因为5m²＞0，
所以（*）式可化为n=$\frac{5{m}^{2}}{-3{m}^{2}+6m+2}$＜0，
所以此时n无正整数解．
综上可知，存在满足条件的正整数m，n，此时m=2，n=10．

点评 本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．