Question

设函数f（x）=

3

sin

πx

m

，若存在f（x）的极值点x₀满足x₀²+[f（x₀）]²＜m²，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得，f（x₀）=±

3

，且

πx0

m

=kπ+

π

2

，k∈z，再由题意x₀²+[f（x₀）]²＜m²，可得当m²最小时，|x₀|最小，而|x₀|最小为

1

2

|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．

解答： 解：由题意可得，f（x₀）=±

3

，且

πx0

m

=kπ+

π

2

，k∈z，即 x₀=

2k+1

2

m．
再由x₀²+[f（x₀）]²＜m²，可得当m²最小时，|x₀|最小，而|x₀|最小为

1

2

|m|，
∴m² ＞

1

4

m²+3，
∴m²＞4． 
解得 m＞2，或m＜-2，
故m的取值范围是（-∞-2）∪（2，+∞）
故答案为：（-∞-2）∪（2，+∞）

点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题