Question

16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，且$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=2S
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和向量的知识可得$\sqrt{3}$abcosC=2×$\frac{1}{2}$absinC，可得tanC=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理和基本不等式可得a+b的不等式，解不等式结合三角形的三边关系可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=2S，
∴$\sqrt{3}$abcosC=2×$\frac{1}{2}$absinC，解得tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\sqrt{3}$
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=$\sqrt{3}$，∴由余弦定理可得3=a²+b²-2abcosC
=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，∴（a+b）²=3+3ab，
由基本不等式可得（a+b）²=3+3ab≤3+3$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
解关于a+b的不等式可得-2$\sqrt{3}$≤a+b≤2$\sqrt{3}$，
结合a+b＞c=$\sqrt{3}$可得a+b的取值范围为（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式的应用和整体思想，属中档题．