Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=4a_n-3a_n-1（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n，求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}及数列{n•（a_n-$\frac{1}{2}$）}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对任意的n∈N^*，n≥2，由a_n+1=4a_n-3a_n-1，变形a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1=3（a_n-a_n-1），令b_n=a_n+1-a_n，显然b_n=a_n+1-a_n≠0，则$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=3$，即可证明．
（II）由（Ⅰ）可知${b_n}={b_1}×{q^{n-1}}={3^{n-1}}$．当n≥2时，${a_n}-{a_{n-1}}={b_{n-1}}={3^{n-2}}$，利用“累加求和”方法、“错位相减法”即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：对任意的n∈N^*，n≥2，∵a_n+1=4a_n-3a_n-1，
∴a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1=3（a_n-a_n-1），
令b_n=a_n+1-a_n，显然b_n=a_n+1-a_n≠0，则$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=3$，
∴数列{b_n}是首项为b₁=a₂-a₁=1，公比q为3的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知${b_n}={b_1}×{q^{n-1}}={3^{n-1}}$．
∴当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，a₂-a₁=b₁=1，${a_3}-{a_2}={b_2}={3^1}$，${a_3}-{a_2}={b_2}={3^2}$，…${a_n}-{a_{n-1}}={b_{n-1}}={3^{n-2}}$，
累加得${a_n}-{a_1}=1+{3^1}+{3^2}+…+{3^{n-2}}=\frac{{{3^{n-1}}-1}}{2}$${a_n}=1+\frac{{{3^{n-1}}-1}}{2}=\frac{{{3^{n-1}}+1}}{2}$，
∵${a_n}=\frac{{{3^{n-1}}+1}}{2}$，则$n•（{{a_n}-\frac{1}{2}}）=n•\frac{{{3^{n-1}}}}{2}$，
∴${S_n}=1×\frac{3^0}{2}+2×\frac{3^1}{2}+3×\frac{3^2}{2}+…+（{n-1}）×\frac{{{3^{n-2}}}}{2}+n×\frac{{{3^{n-1}}}}{2}$，
$3{S_n}=1×\frac{3^1}{2}+2×\frac{3^2}{2}+3×\frac{3^3}{2}+…+（{n-1}）×\frac{{{3^{n-1}}}}{2}+n×\frac{3^n}{2}$，
∴$-2{S_n}=\frac{3^0}{2}+\frac{3^1}{2}+\frac{3^2}{2}+…+\frac{{{3^{n-1}}}}{2}-n×\frac{3^n}{2}$=$\frac{{{3^n}-1}}{4}-n×\frac{3^n}{2}=\frac{{（{1-2n}）{3^n}-1}}{4}$，
∴${S_n}=\frac{{（{2n-1}）{3^n}+1}}{8}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式、“累加求和”方法、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．