Question

定义在R上的可导函数f（x），若x≠1时，（x-1）f′（x）＜0恒成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则下列各项中一定正确的是（　　）

• A、f（0）+f（2）＞2 f（1）
• B、f（0）+f（2）=2f（1）
• C、f（0）+f（2）＜2 f（1）
• D、不能确定

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由x≠1时，（x-1）f′（x）＜0恒成立，可得函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即可得出结论．

解答： 解：∵x≠1时，（x-1）f′（x）＜0恒成立
∴函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（1）＞f（0），f（1）＞f（2），
∴f（0）+f（2）＜2 f（1），
故选：C．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，确定函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减是关键．