如图.已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．(Ⅰ)求抛物线C的方程,(Ⅱ)设直线与抛物线C交于两点..且．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D.连结AD.BD得到．(i)求实数a.b.k满足的等量关系,(ii)的面积是否为定值?若为定值.求出此定值,若不是定值.请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连结AD、BD得到．
（i）求实数a，b，k满足的等量关系；
（ii）的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）为定值

解析试题分析：(Ⅰ)依题意：，解得.抛物线方程为.
(Ⅱ)(i)由方程组消去得：.（※）
依题意可知：.
由已知得，.
由，得，即，整理得.
所以 .
(ii)由(i)知中点，所以点，
依题意知.
又因为方程（※）中判别式，得.
所以，
由（Ⅱ）可知，所以.
又为常数，故的面积为定值.
考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系的判断和应用，三角形面积公式的应用，考查学生的运算求解能力.
点评：判断直线与抛物线的位置关系时，不要忘记验证判别式

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已知m>1，直线，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

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（本题13分）设椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且是的中点．

（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
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已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.

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如图,已知点是椭圆的右顶点,若点在椭圆上,且满足.(其中为坐标原点)

（1）求椭圆的方程;
（2）若直线与椭圆交于两点,当时,求面积的最大值.

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已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（i）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（ii）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

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（本题满分10分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程。

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已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A,B.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。