Question

9．已知全集U=R，集合A={x|x＜-4，或x＞2}，B={x|-1≤2^x-1-2≤6}．
（1）求A∩B、（∁_UA）∪（∁_UB）；
（2）若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出B，利用两个集合的交集的定义，A∩B，利用（C_UA）∪（C_UB）=C_U（A∩B），求出（∁_UA）∪（∁_UB）；
（2）利用集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A={x|x＜-4，或x＞2}的子集，可得2k-1＞2或2k+1＜-4，即可求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵-1≤2^x-1-2≤6，∴1≤2^x-1≤8，
∴1≤2^x-1≤8，∴1≤x≤4．
∴B={x|1≤x≤4}．…（2分）
又∵A={x|x＜-4，或x＞2}，
∴A∩B={x|2＜x≤4}，…（4分）（C_UA）∪（C_UB）
=C_U（A∩B）={x|x≤2，或x＞4}…（6分）
（2）∵集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A={x|x＜-4，或x＞2}的子集
∴2k-1＞2或2k+1＜-4，…（10分）
∴$k＞\frac{3}{2}$或$k＜-\frac{5}{2}$．
即实数k的取值范围为$\left\{{k|k＜-\frac{5}{2}或k＞\frac{3}{2}}\right\}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是集合的交、并、补集的混合运算，考查集合关系的运用，属于中档题．