Question

在直角坐标系xOy上取两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（2）已知点G（1，0）和G′（-1，0），点P在轨迹M上运动，现以P为圆心，PG为半径作圆P，试探究是否存在一个以点G′（-1，0）为圆心的定圆，总与圆P内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（　　）由直线方程的点斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，联解并结合mn=3化简整理得

x2

4

+

y2

3

=1，再由N₁、N₂不与原点重合，可得直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（2）由题意，点G（1，0）和G′（-1，0）为椭圆的焦点，则PG+PG′=4，从而PG′=4-PG，即可得出结论．

解答： 解：（1）依题意知直线A₁N₁的方程为：y=

m

2

（x+2）…①；
直线A₂N₂的方程为：y=-

n

2

（x-2）…②
设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①、②相乘，得y²=-

mn

4

（x²-4）
由mn=3整理得：

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁、N₂不与原点重合，可得点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上，
∴轨迹M的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（2）由题意，点G（1，0）和G′（-1，0）为椭圆的焦点，则PG+PG′=4，
∴PG′=4-PG，
∴点G′（-1，0）为圆心，4为半径的定圆，总与圆P内切，
方程为（x+1）²+y²=16．

点评：本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．